胡克定律

应力张量与应变张量成线性正比关系，即

$${\sigma }_{ij}=C_{ijkl}{e}_{kl}$$

$C_{ijkl}$为弹性常数张量或弹性模量。对于各向同性材料，两个独立的弹性常数就可以表征该材料。胡克定律可写成

$${\sigma }_{ij}=\lambda e_{\alpha \alpha }{\delta }_{ij}+2\mu e_{ij}$$

$\lambda$和$\mu$称为拉梅(Lame)常数。$\mu$也被称为剪切弹性模量，记为$G$。

杨氏模量：E 泊松比：v 体积模量：不可压缩。

The Material Point Method for Simulating Continuum Materials

杨氏模量: $E$, 泊松比: $\nu$,

$$\Psi (\mathbb{F})=\frac{\mu }{2}\left(\text{tr}\left({\mathbb{F}}^{\top }\mathbb{F}\right)-\mathrm{d}\right)-\mu \log (J)+\frac{\lambda }{2}{\log }^2(J),$$ $$\mu =\frac{E}{2(1+v{)}^2},\lambda =\frac{Ev}{(1+v)(1-2v)},$$ $$\mathbb{P}=\mu \left(\mathbb{F}-{\mathbb{F}}^{-\mathbf{T}}\right)+\lambda \log (J){\mathbb{F}}^{-\mathrm{T}}.$$

Physics-Based Simulation