变量目录

符号表 Notation

以下是本论文中使用的符号的非详尽列表。我们将采用粗体字符表示矢量的惯例。

欧拉描述

	Explanation	中文解释
$\Omega$	An open subset of ${\mathbb{R}}^n$	背景区域
$\partial \Omega$	boundary of $\Omega$	区域边界
$\mathbf{u}$	Velocity field	速度场
$p$	Pressure field	压强场
$\mathbf{n}$	Unit vector normal to $\partial \Omega$	单位外法向
$\nabla \cdot \mathbf{u}$	Divergence of $\mathbf{u}$	速度散度
$\nabla \mathbf{u}$	Gradient of $\mathbf{u}$	速度梯度
$\Delta \mathbf{u}$	Laplacian of u, defined by $\Delta =\nabla \cdot \nabla$	拉普拉斯算子
$⟨\cdot ,\cdot ⟩$	$L^2$-inner product on $\Omega$	$L^2$内积
$\Vert \cdot {\Vert }_k$	Norm defined by the $H^k$-inner product on $\Omega$ if $k=0,1$	$H^k$范数
$\Vert \cdot {\Vert }_2$	Euclidian norm	欧几里得范数
$\mathbf{x}$	$\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)$ Eulerian coordinates	欧拉坐标

拉格朗日描述

代数

	Explanation	中文解释
$J$		雅可比矩阵
$\mathbb{F}$		形变梯度

参数

	Explanation	中文解释
$\mu$	(Dynamic) Viscosity	动力粘性
$\rho$	Density	密度
$\nu$	Kinematic viscosity, defined as nu:=mu//rho	运动粘性
$\Delta t$	Timestep	时间步长
$Re$	Reynolds number	雷诺数
$h$	Discretization parameter1	空间离散参数

矩阵的性质

	Explanation	中文解释
$L^2(\Omega )$	Space of square-integrable functions on $\Omega$	$\Omega$上的平方可积函数
$H^k(\Omega )$	Space of $L^2$-functions on $\Omega$ with derivatives up to order $k$ which are also in $L^2(\Omega )$	$H^k$空间
$H_0^k(\Omega )$	Space of functions in $H^k(\Omega )$ which equal zero on $\partial \Omega$	$H^1$空间
$H^{-1}$	Dual space of $H^1$	$H^1$的对偶空间

固体力学

	Explanation	中文解释
$\mathbf{\sigma }$	The Cauchy stress tensor	柯西应力张量
$\mathbb{P}$	the first Piola–Kirchhoff stress tensor	第一PK应力张量
$W$	Strain energy density function	应变能密度函数
$E$	Elastic potential energy function	弹性势能函数
$E_k$	Kinetic energy function	动能函数
$B$	A region in three-dimensional Euclidean point space(${\mathbb{R}}^n$), called configuration of $\mathcal{B}$	固体的构型
$B_r$	A specific configuration of $\mathcal{B}$	参考构型
$B_t$	Current configutation of $\mathcal{B}$	现时构型，当前构型
$\mathcal{B}$	A body, considered as a set of elements, or particles, or material points, whatever	固体

$\mathcal{X}(\mathbf{X},t)$	bijection mapping between $B_r$ and $B_t$
$\mathbf{X}$	$\mathbf{X}=(X_1,X_2,X_3)$Coordinates of material points at reference configuration	固体粒子在参考构型的坐标
t	current time	当前时间
$T$	total time interval	总时间

多孔弹性体

浸没边界法

$\mathcal{S}(\mathbf{X},t)$	prolongation operation, distribution operator	延拓算子
$\mathcal{J}(\mathbf{X},t)$	restriction operator, interpolation operator	插值算子

Footnotes

1. Discretization parameter, proportional to the length of the longest edge of an element in a partition of $\Omega$ ↩