应力

当$\Delta S$趋于微小而有界的大小$\alpha$时，比值$\frac{\Delta \mathbf{F}}{\Delta S}$在可接受的变动性$\epsilon$内趋于一个确定的极限$\frac{d\mathbf{F}}{dS}$，作用在表面$\Delta S$上的力对该面积内任意一点的矩在微小而有界的面积$\alpha$的极限中以一个可接受的变动性趋于零。该极限矢量将记为

$$\stackrel{\mathbf{v}}{\mathbf{T}}=\frac{d\mathbf{F}}{dS}$$

其中，引入了上标$\mathbf{v}$以表示面元的法线方向为$\mathbf{v}$。极限矢量$\stackrel{\mathbf{v}}{\mathbf{T}}$称为牵引力或应力矢量，表示作用在单位面积上的力。

应力始终被认为是位于面元正侧(外法线正方向的一侧)的部分对位于面元负侧的部分的单位面积上的作用力。

欧拉柯西应力断言: 存在一个定义在连续介质内部任意假想闭合曲面S上的应力矢量场，它对占有S内部空间的物质的作用与来自外部物质的作用是等价的。

正应力

剪应力

表示面元外部材料对内部材料作用的应力矢量${\mathbf{T}}^{(+)}$与表示内部材料通过同一面元对外部材料作用的应力矢量${\mathbf{T}}^{(-)}$大小相等，方向相反，即

$${\mathbf{T}}^{(+)}=-{\mathbf{T}}^{(-)}$$

应力矢量是表面法矢量的函数。

应力张量