同伦算法（Homotopy Method）

牛顿方法的关键是找到一个较好的初值。

同伦算法(Homotopy method, continuation method, successive loading method)可以用来生成一个较好的初值。 $F_0$ 是一个已知函数，它的零点已知，$F_0(x^{\ast })=0$ 构造一个一个依赖于参数$s$的函数 $H(x,0)=0$ 的解为$F_0(x)=0$ 的解，$H(x,1)=0$ 的解为$F(x)=0$ 的解。

$F_0(x)$ 的一种构造方式为 同伦方程(Homotopy function)为

$H(x,s)$ 的解与 $s$ 有关，将它记为 $x^{\ast }(x)$ ，当 $s$ 趋于 $1$ ， $x^{\ast }$ 趋于 $x$。 选取一些列

通过牛顿方法求解一系列非线形问题

$$H(x,s_i)=0$$

每个问题都用 $x^{\ast }(s_{i-1})$ 作为迭代初值。

例子

对于问题，如果用牛顿迭代方法求解，当时不收敛，如果用同伦算法求解，即使迭代初值为4，也能收敛。

代码

def newton_iteration(f, df, x0, tol=1e-3, max_iter=100):
    """
    牛顿迭代算法
 
    参数:
        f: 待求根的函数
        df: f的导数函数
        x0: 初始猜测值
        tol: 迭代终止容差，默认为1e-6
        max_iter: 最大迭代次数，默认为100
 
    返回:
        root: 方程的近似根
        iterations: 迭代次数
    """
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        # 计算牛顿迭代步骤
        x_new = x - f(x) / df(x)
 
        # 检查是否收敛
        if abs(x_new - x) < tol:
            return x_new, i + 1
 
        x = x_new
        print(x)
 
    raise ValueError("未能在给定迭代次数内收敛到解")
 
 
import numpy as np
 
# 示例：求解方程x^3 - 2x - 5 = 0的根
# 定义函数及其导数
def f(x):
    return np.arctan(x)
 
def df(x):
    return 1.0/(1.0+x*x)
 
# 初始猜测值
x0 = 1.3
 
# 调用牛顿迭代算法求解
root, iterations = newton_iteration(f, df, x0)
 
print("方程的根: ", root)
print("迭代次数: ", iterations)
 
 
# 同伦方程
def hf(x,s):
    return np.arctan(x)+(s-1)*np.arctan(x0)
 
def hdf(x,s):
    return 1.0/(1.0+x*x)
 
 
x0=4
n = 10
result = []
s=np.linspace(1e-5,1,n)
 
# 同伦算法
for i in s:
    def f(x):
        return hf(x,i)
    
    def df(x):
        return hdf(x,i)
    
    root, iterations = newton_iteration(f, df, x0)
    print("方程的根: ", root, "s=",i)
    print("迭代次数: ", iterations)
    x0=root
    result.append(root)
 
from matplotlib import pyplot as plt
plt.plot(s,result)
plt.show()